jueves, 15 de agosto de 2019

Aristarco de Samos. Por Mª Rosa Massa Esteve








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Escrito por Mª Rosa Massa Esteve (Universitat Politècnica de Catalunya)     






Aristarco de SamosAristarco de Samos1, que floreció entre Euclides (aprox. 300 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.), fue una de las raras excepciones que planteó ideas heliocéntricas del Universo. Sin embargo, en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna utilizó la teoría geocéntrica. Aristarco fue uno de los pioneros en escribir una obra que calculaba los tamaños del Sol y la Luna relacionándolos con los de la Tierra y las distancias de ellos a la Tierra.
Cuando Aristarco escribió su obra (aprox. 230 a.C.) en la astronomía griega ya se conocían teorías diversas sobre el cosmos. Así podemos citar, por ejemplo, a Tales (aprox. 624-547 a.C.), conocido como astrónomo y que predijo y explicó las causas de un eclipse de Sol, entendía la Luna y el Sol como discos o cilindros cortos que se comportaban como si flotaran en el agua [Heath, 1981b, pp. 137-138]. Tannery compara esta visión del universo de Tales con la que se encuentra en los papiros egipcios [Tannery, 1990, p. 74].
Algunas ideas diferentes fueron presentadas por Pitágoras (aprox. 572-497 a.C.) y sus seguidores, quienes reconocieron que la Tierra era una esfera y que Venus, la estrella vespertina, era el mismo planeta que Venus, la estrella matutina. El movimiento de la Tierra así como el del Sol, la Luna y los planetas alrededor de un fuego central fue también una teoría atribuida a un discípulo de Pitágoras, Filolao de Crotona (aprox. 470 a.C.) [Berry, 1961, pp. 24-25].
Posteriormente, Eudoxio (aprox. 408-355 a.C.) propuso una teoría de esferas homocéntricas para describir el movimiento de los cuerpos celestes. Supuso que la Tierra permanecía inmóvil en el centro y que los planetas (incluyendo el Sol y la Luna) ejecutaban movimientos circulares alrededor de ella. Eudoxio las consideró esferas encajadas y concéntricas con la Tierra: tres esferas para el Sol, tres para la Luna y cuatro para cada uno de los otros planetas con diferentes velocidades de rotación y ejes de giro. También construyó un observatorio en Cnido, observó las estrellas y escribió un libro sobre la salida y la puesta de las constelaciones.

Aristóteles (aprox. 384-322 a.C.), cuyos textos tuvieron gran influencia, analizó las realidades observables y reconstruyó la teoría del universo integrando en su cosmología muchas de las ideas de sus predecesores tales como el geocentrismo, el marco estructural del universo de las dos esferas, el principio platónico de movimiento circular y uniforme de los cuerpos celestes y, además, se apropió de la teoría presocrática de los cuatro elementos [Puig Pla, 1996, pp. 41-55]. Estableció las bases de lo que hoy llamamos física antigua y las líneas básicas de su doctrina fueron aceptadas como dogma durante unas sesenta generaciones. Las fuentes disponibles que hacen referencia a los principios de filosofía natural de Aristóteles son los ocho libros de Física. Las cuestiones astronómicas se discuten sobre todo en los cuatro libros del De Caelo y en la Meteorología. De hecho la práctica totalidad de los astrónomos griegos, árabes y cristianos aceptaron, de forma implícita o no, las premisas fundamentales de la cosmología aristotélica: el carácter cerrado y finito del cosmos, la inmovilidad de la Tierra en el centro del universo y la diferencia esencial entre las dos regiones: la celeste (supralunar) y la terrestre (sublunar).
Aristarco que nació en la isla de Samos el 310 a.C. fue discípulo de Estratón de Lampsaco, tercer director del Liceo, la escuela fundada por Aristóteles. Sin embargo, se cree más probable que Aristarco estudiara con Estratón en Alejandría, y no en Atenas, ya que Estratón fue nombrado director del Museo de Alejandría en el año 287 a.C. [Sthal, 1970-1991, Wall, 1975, Maeyama, 1984 y Goldstein & Bowen, 1991].
No se conoce casi nada de su vida. Las escasas informaciones de que se dispone están determinadas por las citas halladas en textos posteriores y por la obra que nos dejó. Así, Ptolomeo (aprox. 85 -165), en su obra Almagesto (150), llamada también Sintaxis Matemática, explica que Aristarco observó el solsticio de verano en el año 280 a.C.. Ptolomeo, en el apartado primero del libro III de su obra, describe también los procedimientos de Aristarco para determinar la longitud del año solar [Ptolemy, 1984, pp. 137-139]. Posteriormente, Nicolás Copérnico (1473-1543) en su obra De Revolutionibus orbium coelestium libri VI (1543) explica las observaciones realizadas por Aristarco en Alejandría con Timocaris de Alejandría (aprox. III a.C.) y Aristilo (discípulo de Timocaris). En el capítulo II del tercer libro, Copérnico relata las observaciones de los equinoccios y solsticios bajo el título: “Historia de las observaciones que comprueban la irregular precesión de los equinoccios y los solsticios” y cita a Aristarco y a Timocaris. Concluye que “desde Timocaris a Ptolomeo, en comparación con los restantes tiempos, el movimiento aparente de precesión de los equinoccios se descubrió más lento”. En el capítulo VI de este mismo libro, Copérnico vuelve a describir los movimientos regulares de la precesión de los equinoccios, citando de nuevo a Aristarco, Timocaris y Aristilo. Finalmente, en el capítulo XIII del mismo libro tercero, Copérnico describe los cálculos realizados por diversos astrónomos, entre ellos Aristarco, para determinar la magnitud del año solar [Copérnico, 1987, pp. 151-154,162-169 y183-187].
Aunque fue reconocido como astrónomo en las obras anteriores, Aristarco en su época fue llamado el “matemático”, y citado como uno de los pocos hombres que tenían un profundo conocimiento de todas las ramas de la ciencia: geometría, astronomía, música,… Así Vitruvio (s. I a.C.) lo menciona en el Capítulo I del primer libro de la obra De Architectura (35-25 a.C.) titulado “De la esencia de la Arquitectura” [Vitruvio, 1787, p. 8]:
“Los que recibieron de la naturaleza tanto talento, perspicacia y memoria, que puedan adquirir perfectamente la Geometría, Astrología, Música, y demás disciplinas, pasan los límites de architectos, y se hacen Matemáticos; con lo qual pueden fácilmente disputar de estas ciencias, hallándose apercibidos con el conocimiento de otras muchas. Pero raras veces se ven tales sujetos, como en otros tiempos lo fueron Aristarco Samio, Philolao y Architas Tarentinos, Apolonio Pergéo, Eratóstenes Cyreneo, y Archimedes y Scopínas Siracusanos: los quales dexaron a la posteridad muchas invenciones orgánicas y gnomónicas, halladas y explicadas por cálculo numérico, y razones naturales.”
Según Tannery (1995, Vol. I, p. 373), Vitruvio explica también que Aristarco había construido dos relojes de Sol, uno hemisférico y otro plano. Por otro lado, no tenemos ninguna duda de que era un geómetra muy capaz, como queda probado en el trabajo de astronomía que nos ha legado. También escribió sobre visión, luz y colores. Decía que los colores eran “formas estampando el aire con impresiones de cómo eran ellas mismas”.
No obstante, Aristarco es sobre todo conocido por ser el “antiguo Copérnico”. Hay unanimidad en afirmar que Aristarco fue de los primeros en presentar la hipótesis heliocéntrica. Arquímedes (Archimède, 1971, p. 135), contemporáneo suyo, lo afirma en un pasaje de su obra Arenario (216 a.C.),
“Ahora bien tú te acuerdas que para el término mundo la mayor parte de los astrónomos designan la esfera que tiene por centro el centro de la Tierra y por radio la recta comprendida entre el centro del Sol y el centro de la Tierra, pues tú habrás aprendido esto en las demostraciones que escriben los astrónomos. Sin embargo, Aristarco de Samos ha publicado algunas hipótesis de las cuales se deducen para el mundo dimensiones mucho más grandes que las que acabamos de mencionar. Supone, en efecto, que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol sobre una circunferencia de círculo, ocupando el Sol el centro de esta trayectoria, y que la esfera de las fijas, que se extiende alrededor del mismo centro que el Sol, tiene un tamaño tal que la razón del círculo, sobre el que se supone que la Tierra gira, respecto a la distancia de las estrellas fijas es comparable a la razón del centro de la esfera respecto a su superficie.”
En este texto se deduce que Aristarco suponía que las esferas de las estrellas y el Sol permanecían en el espacio sin moverse y que la Tierra giraba alrededor del Sol. Aristarco comparaba la esfera de las estrellas fijas con la órbita de la Tierra. En este sentido también lo cita Plutarco (aprox. 46-125) en un tratado de sus Obras Morales titulado: Sobre la cara visible de la Luna, se suele citar como Moralia 923 A [Chermiss- Helmbald, 1957, p. 55]:
“Ahora bien, tú no me tentarás hoy a defender a los Estoicos contra tus cargas hasta que os haya llamado para que justifiquéis como giráis el Universo al revés. “A continuación, Lucius sonrió y dijo: Oh Señor, sencillamente no nos acuséis de impiedad como Cleanthes que creyó que los griegos deberían haber presentado una acción por impiedad contra Aristarco de Samos, sobre la base de que estaba desplazando la Tierra del universo, porque intentó explicar los fenómenos suponiendo que los cielos están quietos mientras que la Tierra gira a lo largo de la eclíptica y al mismo tiempo está girando sobre su propio eje.”
Plutarco comenta que Cleanthes creía que se debería atacar a Aristarco por desplazar la Tierra del centro del universo o sea que, en aquella época, se suponía que Aristarco asumía, en sus teorías, el movimiento de la Tierra. Sin embargo, a pesar de estas referencias, Aristarco en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna no presenta la hipótesis heliocéntrica. Es probable que esta hipótesis le viniera sugerida al comprobar, en su obra, que el Sol es mucho más grande que la Tierra y la Luna y se encuentra mucho más lejos de la Tierra que la Luna. Veamos el contenido de esta obra con más detalle.


Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna

La obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna, según cuenta Pappus,se encontraba en una colección de textos, llamada Pequeña Astronomía, juntamente con las obras: Sobre la esfera en movimiento de Autólico de Pitania (aprox. 320 a.C.), la Optica y los Fenómenos de Euclides, las Sphaerics y De diebus et noctibus de Teodosio (aprox. 107-43 a.C.) y otros [Pappus, 1982, T. 2, p. 369].
La colección Pequeña Astronomía constituía un curso de introducción a la gran astronomía que, de hecho, estaba representada por la obra Almagesto de Ptolomeo. Todos estos textos se encontraban escritos en griego, así como en árabe. Una traducción del griego al árabe la hizo Luqa al-Balabakki que murió en 912. Más tarde, Nasir al-din al-Tusi (1201-1274) hizo una recensión de todos los libros de Pequeña Astronomía. La primera edición de la obra fue una traducción latina de George Valla en 1488 (una segunda edición en Venecia,1498) y, a partir de esta fecha, se sucedieron diversas traducciones, la latina de Commandino (1572) (ver Figura 1), una edición griega de John Wallis (Oxford,1688), una edición greco-latina de Fortia d'Urban (Paris, 1810), seguida por una traducción francesa del mismo autor, en 1823 y en Oxford, en 1913, una edición griega con la traducción inglesa de Thomas Heath.

Portada de Commandino
FIGURA 1. Portada de Commandino.

Para nuestra traducción (ver Figura 2) hemos utilizado la edición latina de Commandino y la edición greco-inglesa de Heath, ya que esta traducción inglesa está hecha a partir de un manuscrito griego del Vaticano, del texto de Wallis y de la traducción francesa de Fortia d'Urban. El texto griego que aparece en el mismo libro de Heath ha sido utilizado por el profesor Joaquín Ritoré para revisar esta traducción al castellano. Para ilustrar las proposiciones se han reproducido las figuras que aparecen en la edición latina de Commandino que, en algunos casos, presenta letras distintas del texto griego publicado en Heath. Para la traducción de los comentarios de Pappus de su Colección Matemática (Capítulo XXXVII del libro VI) hemos utilizado la traducción francesa de Paul ver Eecke de 1982, revisándola con el texto latino de Commandino y con la traducción inglesa de Heath.

Portada de nuestra traducción FIGURA 2. Portada de nuestra traducción.

Una valoración integral de esta obra de astronomía ha de considerar la estrecha relación que tuvieron los inicios de la astronomía con los orígenes de la trigonometría, aspecto, éste, que contribuye a su mejor comprensión. En el texto, Aristarco se plantea problemas de geometría plana cortando las esferas del Sol y de la Luna en círculos máximos. Para resolver los problemas geométricos, recurre a relaciones, consideradas hoy como trigonométricas, entre ángulos y lados de un triángulo. Los ángulos los expresa como fracciones de ángulo recto y escribe las razones trigonométricas como razones entre los lados de los triángulos; así puede determinar las cotas superiores e inferiores del valor que busca. Las proposiciones geométricas que Aristarco emplea se encuentran mayoritariamente en los Elementos de Euclides. La teoría de proporciones de Eudoxo del libro V de los Elementos es utilizada constantemente y sus propiedades de invertir, alternar, componer y multiplicar son aplicadas tanto para proporciones de igualdad como de desigualdad. Aristarco se basa también implícitamente en otras relaciones, que para nosotros son trigonométricas, como si las conociese o las considerase triviales.
Aristarco parte de seis hipótesis sobre los tamaños y las distancias a los astros, y a través de dieciocho proposiciones, demuestra tres tesis. Las hipótesis de las que parte se pueden agrupar en dos bloques: uno, para las tres primeras que son descriptivas y otro, para las tres restantes que son además cuantitativas. El contenido de las tres primeras podríamos enunciarlo así: la primera afirma que La Luna recibe su luz del Sol, la segunda explica que La Tierra representa el centro de la esfera en la que se mueve la Luna, y la tercera nos describe que el círculo máximo que delimita las partes de oscuridad y claridad en la Luna está en el campo de visión de nuestro ojo. Estas hipótesis, pues, no aportan ningún ángulo, ninguna medida, sino que describen las posiciones de los astros. Las otras tres hipótesis proporcionan medidas obtenidas probablemente por observación. Así, la cuarta implica que cuando la Luna forma ángulo recto con el Sol y la Tierra, el ángulo de visión de la Luna desde la Tierra es de 87º, ya que el otro ángulo del triángulo rectángulo mide una treintava parte (1/30) de un cuadrante (90º), es decir 3º; la quinta nos proporciona el tamaño de la sombra de la Tierra que es dos veces la Luna, y la sexta y última nos explica que la Luna es vista desde la Tierra, formando un cono, con un ángulo de 2º, que es una quinceava parte de un signo del zodíaco (30º).
Las tres tesis, que enuncia al principio del libro, son: la primera, la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces, la distancia desde la Tierra a la Luna; la segunda, el diámetro del Sol está en la misma razón que el diámetro de la Luna, y la tercera, el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una razón mayor que la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Estas tres tesis las demuestra en las proposiciones nº 7, nº 9 y nº 15, respectivamente.
La proposición nº 7 afirma que  la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces la distancia desde la Tierra a la Luna.

Ilustración de la proposición nº 7 FIGURA 3. Ilustración de la proposición nº 7 (Aristarco de Samos, 2007, 112)

Aristarco construye un triángulo rectángulo con vértices en los centros de la Tierra (B), de la Luna (C) y del Sol (A) con ángulos dados o sea conocidos por observación. Como la Luna se nos muestra partida en dos, el ángulo BCA es recto, el ángulo ABC es de 87º (por observación) y el CAB es de 3º. De hecho, demuestra que:
1/18 > sin 3º = CB :  AB > 1/20, siendo CB  la distancia Luna-Tierra, AB la distancia Sol-Tierra y interpretando aquí la razón de las distancias como el seno del ángulo complementario al comprendido entre ellas.
Con este planteamiento, hemos de destacar las cuatro estrategias matemáticas necesarias para el desarrollo de la demostración de la primera desigualdad: el paso del análisis del problema del triángulo Sol-Tierra-Luna a un triángulo semejante; la utilización de la relación, como si fuera trivial, entre las tangentes (expresión actual) y los ángulos (tg α : tg β > α : β, con α, β ángulos del primer cuadrante); el establecimiento de una proporción entre los segmentos que determina la bisectriz de un ángulo y los lados del triángulo (aplicando la proposición VI.3 de los Elementos) y, la última, la aproximación de √2 por 7:5. Al final traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB > 18 CB.
Para la segunda desigualdad, Aristarco trabaja también con el triángulo semejante anterior y construye otra circunferencia tomando la hipotenusa como diámetro. Utiliza el lado de un hexágono inscrito en la circunferencia para relacionar su arco de circunferencia con el de la cuerda determinada por el lado opuesto al ángulo de 3º. En este caso tiene en cuenta que el ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca y así puede establecer una proporción de desigualdad entre los arcos de circunferencia y las cuerdas. Destaquemos que otra vez está suponiendo cierta una relación trigonométrica entre los ángulos y sus senos (α : β > sin α : sin β, con α, β ángulos del primer cuadrante). Nuevamente traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB < 20 CB.
Aristarco explica en la segunda tesis que el diámetro del Sol está en la misma razón que el diámetro de la Luna. Esta tesis la demuestra en la proposición nº 9: el diámetro del Sol es mayor que dieciocho veces el diámetro de la Luna, pero menor que veinte veces éste. La demostración se basa en el resultado de las distancias demostrado en la proposición anterior. Dibuja un cono con nuestro ojo en el vértice, cuya base es el círculo máximo del Sol obtenido cortando por un plano su esfera. Entre nuestro ojo y el círculo del Sol, se encuentra el círculo de la Luna, también obtenido cortando su esfera por un plano. A continuación, establece una proporción entre, por un lado, las distancias de la Tierra al centro del Sol y de la Tierra al de la Luna y, por otro, los radios del Sol y de la Luna. Mediante la construcción de dos triángulos semejantes obtenidos cortando el cono por un plano, toma como lados de los triángulos las distancias y los radios. Entonces puede establecer esta proporción por Euclides (VI.4): “En los triángulos de ángulos iguales, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales” [Euclides, 1994, p. 62]. Por lo tanto, la relación entre las distancias del apartado anterior es la misma que entre los radios y en consecuencia, la misma que entre los diámetros.
Aristarco demuestra su tercera tesis en la proposición nº 15, que relaciona el Sol con la Tierra: el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una razón mayor que la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Para ello, utiliza la razón entre las distancias de la proposición nº 7, las hipótesis nº 5 y 6, sobre el tamaño de la sombra de la Tierra y sobre el ángulo de 2º del cono que subtiende la Luna, respectivamente.
El texto constituye una colección coherente de proposiciones, con una descripción correlativa de las ideas que quiere mostrar, teniendo siempre presente sus objetivos, es decir, calcular los tamaños y las distancias de los astros. Las proposiciones constituyen ejercicios matemáticos con operaciones entre razones y con construcciones singulares de figuras que nos muestran la gran calidad de este matemático. Es un texto rico y bien estructurado y, a nuestro entender, sus demostraciones son impecables en cuanto al rigor.
Sin embargo, su rigor en el razonamiento no fue acompañado de observaciones correctas, así observó un ángulo de 87º, cuando en realidad es casi de 90º. De hecho Pappus en su comentario señala que Aristarco deduce las relaciones anteriores de sus suposiciones y observaciones y afirma que al cambiar las suposiciones también cambiaron las medidas obtenidas.
El texto de Aristarco proporciona pasajes de geometría para su uso en el aula muy instructivos [Massa, 2005, 95-101]. El texto permite remarcar fundamentalmente dos ideas: la aplicación de la trigonometría al cálculo de distancias y el lazo de la trigonometría con su herramienta base: la geometría. Más allá de las ideas  matemáticas, el interés de la obra de Aristarco radica también en la presentación de un método riguroso de cálculo de distancias relativas Tierra-Sol, Tierra-Luna que contribuyó 230 a.C. a un mayor conocimiento astronómico.
 
BIBLIOGRAFÍA
Obras originales de la matemática griega en español
  • ARISTARCO DE SAMOS. Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna,Int., traduc., y notas de M. R. MASSA-ESTEVE, Cádiz, Publicaciones de la Universidad de Cádiz, 2007.
  • EUCLIDES, Elementos. Vol. 1, libros I-IV. Int. de Luis Vega. Trad. y notas de María Luisa PUERTAS CASTAÑOS. Madrid: Gredos, 1991. Vol. 2, libros V-IX. Trad. y notas de M. L. PUERTAS CASTAÑOS. Madrid: Gredos, 1994. Vol. 3, libros X-XIII. Trad. y notas de M. L. PUERTAS CASTAÑOS. Madrid: Gredos, 1996.
  • GONZÁLEZ URBANEJA, P.M; VAQUÉ, J.: El método relativo a los teoremas mecánicos de Arquímedes.Pub. Univ. Autónoma de Barcelona, Ed. Univ. Politècnica de Catalunya. Colección Clásicos de las Ciencias. Barcelona, 1993. Edición crítica en español de esta obra de Arquímedes.
  • GONZÁLEZ URBANEJA, P.M; y VAQUÉ, J.: Mètode d’Arquimedes sobre els teoremes mecànics dedicat a Eratòstenes. Fundació Bernat Metge. Barcelona, 1997. Edició crítica en català d'aquesta obra d'Arquimedes.
Otras obras relacionadas con Aristarco
  • ARCHIMÈDE, Des spirales, De l’équilibre des figures planes, L’arénaire, La quadrature de la parabole, CHARLES MUGLER (Trad.) Paris : Les Belles Lettres, 1971 (Tomo II).
  • BOYER, C. B., Historia de la Matemàtica, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1986, Cap. X.2, pp. 212-213.
  • BERRY, A., A Short History of Astronomy, Nueva York: Dover, 1961(1ra ed. John Murray, 1898).
  • BOWEN, A. C. & GOLDSTEIN, B. R., “Aristarchus of Samos, Thales and Heraclitus on Solar Eclipses: An Astronomical Commentary on P. Oxy. 53.3710 cols. 2.33-3.19”, Physis 31.3 ,1994, pp. 689-729.
  • COPÉRNICO, N., Sobre las revoluciones, CARLOS MÍNGUEZ PÉREZ (Trad.) Madrid: Editorial Tecnos S. A., 1987.
  • CHERMISS, H.-HELMBALD, W., Plutarch’s Moralia, Londres: Cambridge-Mass., 1957.
  • DREYER, J.L.E., A History of Astronomy from Thales to Kepler, Nova York: Dover Publications,1953 (1ra Ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1906).
  • GOLDSTEIN, B. R. & BOWEN, A.C., « The introduction of dated observations and precise measurement in Greek astronomy », Arch. Hist. Exact Sci. 43 (2), 1991, pp. 93-132.
  • HEATH, T. L., Aristarchus of Samos. The Ancient Copernichus. Nueva York: Dover Publications, 1981a (1ra Ed. Oxford: Clarendon Press,  1913).
  • HEATH, T. L., A History of Greek Mathematics, I y II, Nueva York: Dover Publications, 1981b (1ra Ed. Oxford: Clarendon Press,1921).
  • MAEYAMA, Y., “Ancient stellar observations: Timocaris, Aristilo, Hipparcus, Ptolemy –the date and accuracies”, Centaurus, 27 (3-4), 1984, pp. 280-310.
  • MASSA ESTEVE, M. R., “L'Ensenyament de la trigonometria. Aristarc de Samos (310-230 aC)” en P. GRAPI & M. R. MASSA [ed.]: Actes de la I Jornada sobre Història de la Ciència i Ensenyament "Antoni Quintana Marí", Barcelona, 2005, pp. 95-101.
  • NEUGEBAUER, O., The Exact Sciences in Antiquity, Nueva York: Dover Publications,1969.
  • PAPPUS D’ALEXANDRIE, La Collection Mathématique, 2 Tomos, PAUL V.EECKE [Trad.], Paris : Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard, 1982
  • PUIG PLA, C., El geocentrisme I la física antiga, Barcelona: Edicions UPC, 1996 (1ra Ed. 1993).
  • PTOLEMY’S, Almagest, G. J. TOOMER (trad.) Nueva York: Springer-Verlag, 1984.
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  • TANNERY, P., Recherches sur l’histoire de l’astronomie ancienne, Nova York : Georg Olms Verlag Hildesheim, 1976 (1ra Ed., Paris : Éditions Gauthier-Villars & Fils, 1893).
  • TANNERY, P., Pour l’histoire de la Science Hellène. De Thalès a Empedocle, Paris : Éditions Jacques Gabay, 1990 ( 2da. Ed., Paris : Gauthier-Villars et Cie, 1930).
  • TANNERY, P., Mémoires Scientifiques, 6 vols., en HEIBERG, J. L. & ZEUTHEN, H. G. [ed.], Paris : Éditions Jacques Gabay, 1995-1996 ( 1ra. Ed., Paris : Gauthier-Villars et Cie, 1912-1950).
  • VITRUVIO, Los diez libros De Architectura de M. Vitruvio Polion, JOSEPH ORTIZ & SANZ (trad.). Madrid: Imprenta Real, 1787.
  • WALL, B. E., “The Historiography of Aristarchus of Samos”, Studies in the History and Philosophy of Science”, 6, 1975, pp. 201-228.
Nota:
1 Esta biografía se presenta con motivo de la publicación en 2007 por parte del Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz de mi traducción castellana. La traducción va acompañada de una introducción donde presento un análisis de la obra y del personaje. Los objetivos de la traducción son dos: por una parte, aportar un texto que pueda ser útil para los investigadores de historia de la ciencia, para los profesores de matemáticas y de astronomía y por otra, contribuir a la divulgación de esta obra merecedora de contar entre aquellas que ayudan a un mejor conocimiento de la historia de la astronomía. Es uno de los pocos textos que conserva íntegra cada proposición con sus demostraciones y figuras y del cual no conocíamos ninguna traducción castellana.
 
Aristarco de Samos (310 a.C.-260 a.C,)


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